摘要：汽车的平均等待时间是指停车的时刻和最终通过交叉口时刻的时间间隔。每10秒计算一次队列的长度, 并将其作为等待车队列的平均长度, 本文希望能找到更好的交通灯配置, 优化任意方向上的平均等待时间。首先建立一个符合泊松分布的基础模型;然后对原有条件进行更换, 对模型进行了一定改进;最后通过模型求解, 得到交通灯的最佳配置。
关键词：平均等待时间; 交通灯; 泊松分布;
在我们的日常生活中, 道路交叉口的交通灯得到了广泛的应用, 用以控制交叉口的交通流以避免交通事故。然而, 红灯会经常让车辆在行驶中停下, 这将影响交通状况和司机的情绪。
1 基础模型
在建模的过程中, 首先将一个小时分为360个周期, 长度为10秒, 然后假设在0时刻, 十字路口没有汽车, 且交通灯时从绿色变为红色。根据查阅的资料, 假设车辆到达交叉口的数量是服从泊松分布的。
在计算中使用20组服从泊松分布的数据, 发现这些群体有着相同的趋势, 然后取平均值作为答案。可以证明, 当初值小于或等于40时, 我们的基本模型是稳定的。
考虑到在一个小时内的交通灯的周期, 每100秒计算一次。为了准确起见, 设置10秒作为基本模型的最小时间单位, 1秒作为改进模型的最小时间单位。在每100秒内, 使用Matlab以最小数据单元的形式获取泊松分布的数据。为了方便计算对理想情况作了假设, 并根据问题的迭代性质分析了第一个周期中的交通状况。然后, 在第一个100秒的基础上, 根据周期顺序依次遍历值。
2 模型改进
本文通过减小了时间单位来提高数据的准确性, 问题的结果将更接近实际情况。对于汽车等待时间的问题, 我们保留了基本模型的主要思想, 重点研究如何对原有条件进行更换。
与基础模型相同, 考虑到问题的迭代性, 本文从第一个周期开始研究。首先, 将每辆车的到达时刻和绿灯通行时刻分别从小到大排列。其次用最小的绿灯通行时间减去最小的车辆到达时刻, 若结果不为负数, 记结果为该车的等候时间。第三, 继续以上操作结果为负数, 或者该绿灯时刻通行数已达最大值, 然后增加绿灯的时刻, 从小到大为序选择下一个数使得结果不为负数, 然后继续重复操作。
执行完仿真工作后, 我们得到了每辆车的等待时间, 把它们相加, 得到一小时内所有车的等待时间之和。
相同地, 该模型同样适用于方向2, 也可以得到方向2上1小时内所有车的等待时间之和。
3 模型求解
通过求解方程得到所求的绿灯时间后, 在大于与小于解的方向取最近的三个数, 连本身总共七个数作为备选答案。见表1。
考虑到方向2上的等待时间, 满足两个方向等待时间之和尽量小的前提下, 求出方向1和方向2的等待时间, 使得两者不要相差太大, 最终选择一个最合适的方案。
综上所述, 可以得到交通灯的最佳配置, 红灯时间为72秒, 绿灯时间28秒。
3 结语
当交通灯为绿色时, 方向1上, 通过十字路口的车辆的平均数量为100辆, 最大数量为108辆, 在方向2上分别是139辆和400辆。我们对红绿灯的最优配置是:在一个100秒周期中, 红灯的时间是72秒, 绿灯时间是28秒。本文已经通过改进的模型提高了计算的准确性, 但是模型仍然是一个大规模的近似, 这限制了它的应用。
表1 求解结果
参考文献
[1]王连芬, 许树柏.层次分析法引论[M].北京:中国人民大学出版社, 1990.
[2]姜启源, 谢金星, 叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社, 2011.